В курсе «введение в анализ» изучаются основные математические функции и их свойства, тригонометрические формулы, свойства степеней и логарифмов. Цель этого практического курса — напомнить базовые школьные темы по анализу. Будут разобраны как стандартные задачи, так и задачи повышенного уровня. Дальнейшее изучение всех дисциплин основано в том числе на базовых знаниях данного курса.
Длительность предмета 6 недель.

1 модуль
Числовые функции и их свойства (четность, периодичность, монотонность), применение свойств к решению уравнений и неравенств.

2 модуль
Выпуклость функций. Неравенства о средних и их применение.

3 модуль
Тригонометрические функции, преобразование тригонометрических выражений. Решение уравнений и неравенств.

4 модуль
Степени, корни, логарифмы, их свойства. Решение уравнений и неравенств.

Основная цель курса — подробно разобрать со слушателями базовые темы по алгебре и дискретной математике на границе школы и вуза (своего рода ликбез). Основу курса составляют задачи математических кружков и школьной математики углублённого уровня. Мы разберём классические задачи, обратим внимание на разнообразные приёмы и типичные ошибки. Вы повысите уровень культуры математических рассуждений и будете лучше готовы к основным курсам алгебры и дискретной математики для подготовки к поступлению в ШАД.


1 модуль
Делимость. Деление с остатком, сравнения по модулю, алгоритм Евклида. Диофантовы уравнения. Простые и составные числа, основная теорема арифметики.

2 модуль
Многочлены. Корни. Деление с остатком. Разложение на множители.

3 модуль
Комбинаторика. Перестановки, размещения, сочетания. Бином Ньютона, треугольник Паскаля. Формула включений и исключений.

4 модуль
Логические задачи. Математическая индукция. Метод от противного. Принцип Дирихле. Поиск инварианта.

5 модуль
Графы. Лемма о рукопожатиях. Связные графы, циклы, деревья. Обходы графов. Рас- краски графов.

6 модуль
Векторы и координаты. Операции с векторами и точками, скалярное произведение, центр масс (геометрический и координатный подходы). Уравнения прямых и плоскостей.

Изучая алгебру, вы приобретаете умение работать с многочленами, с системами линейных уравнений и матрицами. Данные навыки являются обязательным для любого человека, так или иначе связывающего себя с анализом данных и машинным обучением.

В связи с этим во вступительных экзаменах в ШАД всегда есть не менее двух задач по алгебре.
Длительность предмета 10 недель.

1 Модуль
Комплексные числа.

2 Модуль
Многочлены и алгебраические числа.

3 Модуль
Линейная алгебра на плоскости. Матрицы 2 х 2 и линейные операторы. Определители 2 х 2, их геометрический смысл.

4 Модуль
Метод Гаусса. Векторные пространства и линейные отображения. Размерность. Ранг матрицы. Умножение матриц и его смысл. Обратная матрица.

5 Модуль
Перестановки и определители.

6 Модуль
Спектральная теория. Собственные векторы и значения. Диагонализируемость. Многочлены от матриц. Теорема Гамильтона--Кэли. Понятие о жордановой форме.

7 Модуль
Евклидовы пространства. Ортогонализация. Матрица Грама, её геометрический смысл. Операторы в евклидовых пространствах.

8 Модуль
Билинейные и квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Закон инерции. Приведение к главным осям.

Большая часть курса посвящена методам решения задач на графы, наиболее часто встречающихся на экзаменах в ШАД. Также обсуждаются такие базовые темы, как делимость, комбинаторика, индукция, игры, информация. Часть теории носит характер ликбеза и необходима любому изучающему математику, в частности, для полноценного освоения других курсов Школы.
Длительность предмета 4 недели.

1 Модуль.
Теория чисел. Сравнения по модулю. Китайская теорема об остатках. Функция Эйлера. Малая теорема Ферма. Теорема Эйлера.

2 Модуль.
Комбинаторика. Перестановки и сочетания с повторениями. Биномиальные тождества. Формула включений и исключений.

3 Модуль.
Игры и стратегии, информация.

4 Модуль.
Графы.

Математический анализ является фундаментом почти всех прикладных областей математики. Например, в основе нейронных сетей лежит понятие градиента, при оптимизации нелинейной функции вам понадобится гессиан, чтобы использовать сходимость алгоритма обучения понятия предела абсолютно необходимо, при обработке звука вряд ли обойтись без преобразования Фурье.
В письменный экзамен в ШАД обычно входит 1−2 задачи. Знания пригодятся и на интервью, и для изучения computer science дисциплин.
Длительность предмета 18 недель.

1 Модуль
Основы теории множеств. Предел числовых последовательностей: монотонные последовательности, частичные пределы.

2 Модуль
Критерий Коши существование предела, методы вычисления пределов последовательностей.

3 Модуль
Предел функции. Непрерывность. Теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши, Гейне-Кантора. Разрывы функций. Монотонные функции.

4 Модуль
Дифференцируемость. Теоремы Ферма, Лагранжа, Ролля. Формула Тейлора.

5 Модуль
Правила Лопиталя. Классические неравенства. Неопределённый интеграл.

6 Модуль
Интегрирование функций одной переменной: основные методы интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Теоремы о среднем.

7 Модуль
Несобственный интеграл. Теорема сравнения. Признак Абеля-Дирихле. Классические неравенства интегрального исчисления.

8 Модуль
Числовые ряды. Основные признаки абсолютной и условной сходимости. Формула суммирования Эйлера.

9 Модуль
Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости. Функциональные свойства предельной функции.

10 Модуль
Степенные ряды. Ряды Фурье

11 Модуль
Функции многих переменных. Пространство R^n. Различные классы его подмножеств. Предел функции. Непрерывность.

12 Модуль
Дифференциальное исчисления функций многих переменных. Частные производные, градиент. Матрица Якоби. Касательная плоскость. Законы дифференцирования.

13 Модуль
Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема о среднем, формула Тейлора. Экстремумы функция многих переменных. Гессиан. Условный экстремум.

14 Модуль
Кратные интегралы. Критерий Лебега интегрируемости функции. Теорема Фубини. Замена переменных в кратных интегралах.

15 Модуль
Несобственные интегралы. Критерии сходимости.

16 Модуль
Интегралы, зависящие от параметра. Эйлеровы интегралы.

17 Модуль
Преобразование Фурье

18 Модуль
Элементы функционального анализа: топологические, метрические, нормированные пространства. Принцип сжимающих отображений.

Теория вероятностей пронизывают всю науку о данных. Вероятностные модели и конструкции присутствуют почти по всех алгоритмах машинного обучения. Функция штрафа в задаче регрессии или ошибка классификации опираются на понятии математического ожидания, закон больших чисел и центральная предельная теорема служат обоснованием сходимости и состоятельности многих алгоритмов и методов анализа данных.

На письменном экзамене в ШАД традиционно присутствуют 1−2 задачи по теории вероятностей.
Длительность предмета 10 недель.

1 Модуль
Классическая вероятность. Комбинаторика. «Карты, кости, два слона».

2 Модуль
Условная вероятность. Формулы полной вероятности Теорема Байеса.

3 Модуль
Математическое ожидание дискретных случайных величин.

4 Модуль
Геометрические вероятности.

5 Модуль
Случайные величины. Распределение случайных величин.

6 Модуль
Математическое ожидание непрерывных случайных величин.

7 Модуль
Случайные векторы.

8 Модуль
Гауссовские случайные векторы.

9 Модуль
Гауссовские случайные векторы.

10 Модуль
Простейшее случайное блуждание. Предельные теоремы.

Знание базовых алгоритмов и структур данных важно не только для написания производительного кода, но и для написания хорошего кода в принципе. Реализация классических алгоритмов и решение алгоритмических задач приучает писать код, соблюдая инварианты: такой код легче писать, читать и тестировать. Это одни из весомых причин, по которым компании требуют знания алгоритмов и проводят интервью с лайвкодингом.
В рамках этого курса мы изучим базовые алгоритмы и структуры данных, научимся решать классические теоретические задачи, которые (и им подобные) могут встретиться на интервью, а также решать задачи на программирование в тестирующей системе Codeforces. Всё это вместе позволит учащимся курса изучить алгоритмы, подготовиться к техническому интервью с лайвкодингом и в том числе подготовиться к секции по алгоритмам на вступительных экзаменах в ШАД.
Курс покрывает базовую теорию, в ходе обучения придётся решать значительное число теоретических задач и задач на программирование. Нужно быть готовыми к усердной работе. Вы сможете сдавать задачи на программирование почти на любом языке (см. список языков, [поддерживаемых Codeforces](https://codeforces.com/blog/entry/79)). На занятиях код будет писаться на Python (поскольку он близок к псевдокоду) и на C++, где необходимо показать особенности указателей и возможности работы со структурами данных стандартной библиотеки (STL). Если вы ранее не программировали (не были знакомы ни с одним языком программирования), то курс может оказаться непомерно сложным: на обучение базовому программированию требуется отдельное время и усилие, поэтому порогом входа на курс является владение каким-то языком программирования; важно не бояться отладки и быть готовыми тратить на неё время.
Длительность предмета 15 недель.

1 модуль
Знакомство с тестирующей системой Codeforces. Сложность алгоритмов. Простейшие алгоритмы с инвариантами.

2 модуль
Продолжение работы с инвариантами, «два указателя». Рекурсия и итерация: как исполняются рекурсивные алгоритмы.

3 модуль
Алгоритмы «разделяй и властвуй».

4 модуль
Сортировки и опирающиеся на них задачи.

5 модуль
Структуры данных на (динамических) массивах.

6 модуль
Структуры данных на указателях.

7 модуль
Аммортизационный анализ.

8 модуль
Структуры данных для запросов на отрезках. Модификация Декартова дерева. Дерево отрезков. (*) Дерево Фенвика.

9 модуль
Графы I. Поиск в ширину, алгоритмы Беллмана-Форда и Дейкстры.

10 модуль
Графы II. Остовные деревья. Алгоритмы Крускала и Прима.

11 модуль
Графы III. Поиск в глубину и его приложения (поиск компонент сильной связности, топологическая сортировка).

12 модуль
От кратчайших путей к динамическому программированию.

13 модуль
Динамическое программирование II.

14 модуль
(*) Нижние оценки. Нижние оценки на поиск максимума и сортировки сравнениями.

Пункты, отмеченные (*) будут изучены, если на них останется время: в рамках курса мы будем стараться двигаться в комфортном для обучающихся темпе, насколько это возможно в рамках изучения базовой части программы.

Относительно недавно в требованиях для поступающих в ШАД появился раздел «Анализ данных». В него включены базовые темы анализа данных и алгоритмов машинного обучения. Мы составили курс с учётом данных требований.

В независимости от индустрии аналитику данных предстоит решать задачи кластеризации, классификации и регрессии. Квалифицированный аналитик данных должен знать о проблеме переобучении и уметь её решать. Качественная предобработка данных и правильная работа с признаками являются важными этапами в процессе анализа данных. Сформулированные задачи вы научитесь решать после прохождения нашего курса.

Полученные знания помогут вам при прохождении вступительных испытаний в ШАД.
Длительность предмета 12 недель.

1 Модуль
Введение в питон.

2 Модуль
Настройка среды разработки.

3 Модуль
Основные задачи и инструменты машинного обучения.

4 Модуль
Линейная и логистическая регрессии. Регуляризация. Обобщенная линейная модель.

5 Модуль
Матричные разложения. Метод главных компонент, сингулярное разложение.

6 Модуль
Решающие деревья для регрессии и классификации.

7 Модуль
Ансамбли алгоритмов.

8 Модуль
Кластеризация: метрики и алгоритмы.

9 Модуль
Персептрон, нейронные сети, метод обратного распространения ошибки.

10 Модуль
Введение в современные архитектуры глубокого обучения.